[تمرین ۴-۲] [فیزیک] [دهم]
افزایش دما که به طور معمول موجب افزایش حجم اجسام میشود، بر جرم آنها تأثیری ندارد. به همین دلیل انتظار داریم که چگالی اجسام با افزایش دما کاهش یابد. رابطهٔ چگالی با تغییر دما به صورت $\rho_2 = \rho_1 / (1 + \beta \Delta T)$ است که در آن $\rho_1$ و $\rho_2$ به ترتیب چگالی ماده در دماهای $T_1$ و $T_2$ ، $\beta$ ضریب انبساط حجمی و $\Delta T = T_2 - T_1$ است.
الف) رابطهٔ چگالی با تغییر دما را به دست آورید.
ب) نشان دهید با تقریب مناسبی میتوان چگالی جسم را از رابطهٔ $\rho_2 \approx \rho_1(1 - \beta \Delta T)$ نیز به دست آورد.
پاسخ تشریحی و گام به گام [تمرین ۴-۲] [فیزیک] [دهم]
این تمرین به ما کمک میکند تا بفهمیم چطور **چگالی** یک ماده با تغییر دما عوض میشود. بیایید مراحل را یک به یک طی کنیم.
**الف) به دست آوردن رابطه چگالی با تغییر دما**
**گام اول: تعریف چگالی**
چگالی ($\rho$) از تقسیم جرم ($m$) بر حجم ($V$) به دست میآید:
$\rho = \frac{m}{V}$
نکته کلیدی این است که با تغییر دما، **جرم ماده ثابت میماند**، اما حجم آن تغییر میکند.
**گام دوم: نوشتن روابط برای حالت اولیه و نهایی**
* در دمای اولیه $T_1$: چگالی $\rho_1$ و حجم $V_1$ است. پس: $\rho_1 = \frac{m}{V_1}$ که از آن نتیجه میگیریم: $m = \rho_1 V_1$
* در دمای نهایی $T_2$: چگالی $\rho_2$ و حجم $V_2$ است. پس: $\rho_2 = \frac{m}{V_2}$ که از آن نتیجه میگیریم: $m = \rho_2 V_2$
**گام سوم: استفاده از ثابت بودن جرم**
چون جرم تغییر نکرده، میتوانیم دو رابطه بالا را مساوی هم قرار دهیم:
$\rho_1 V_1 = \rho_2 V_2$
از این رابطه، $\rho_2$ را به دست میآوریم:
$\rho_2 = \rho_1 \frac{V_1}{V_2}$
**گام چهارم: استفاده از فرمول انبساط حجمی**
ما میدانیم که حجم جدید ($V_2$) با توجه به حجم اولیه ($V_1$) از رابطه زیر به دست میآید:
$V_2 = V_1 (1 + \beta \Delta T)$
که در آن $\beta$ ضریب انبساط حجمی و $\Delta T$ تغییر دما است.
**گام پنجم: جایگذاری و رسیدن به رابطه نهایی**
حالا عبارت بالا برای $V_2$ را در رابطه چگالی از گام سوم جایگذاری میکنیم:
$\rho_2 = \rho_1 \frac{V_1}{V_1 (1 + \beta \Delta T)}$
با ساده کردن $V_1$ از صورت و مخرج، به رابطه دقیق چگالی میرسیم:
$\boldsymbol{\rho_2 = \frac{\rho_1}{1 + \beta \Delta T}}$
**ب) به دست آوردن رابطه تقریبی چگالی**
حالا میخواهیم نشان دهیم که رابطه بالا را میتوان به صورت سادهتری نوشت.
**گام اول: بازنویسی رابطه دقیق**
رابطه دقیق را میتوان به شکل توانی نوشت:
$\rho_2 = \rho_1 (1 + \beta \Delta T)^{-1}$
**گام دوم: استفاده از تقریب دوجملهای (بسط تیلور مرتبه اول)**
در ریاضیات، یک تقریب بسیار معروف و کاربردی برای وقتی که $x$ یک عدد بسیار کوچک باشد ($|x| \ll 1$) وجود دارد:
$(1+x)^n \approx 1 + nx$
در مسئله ما، $x = \beta \Delta T$ و $n = -1$ است.
برای اکثر مواد (به خصوص جامدات و مایعات)، ضریب انبساط حجمی ($\beta$) عدد بسیار کوچکی است (مثلاً در حدود $10^{-5}$ یا $10^{-4}$). بنابراین، برای تغییرات دمای نهچندان زیاد، حاصلضرب $\beta \Delta T$ یک عدد بسیار کوچک خواهد بود. پس میتوانیم از تقریب بالا استفاده کنیم.
**گام سوم: اعمال تقریب**
با استفاده از تقریب دوجملهای:
$(1 + \beta \Delta T)^{-1} \approx 1 + (-1)(\beta \Delta T) = 1 - \beta \Delta T$
**گام چهارم: جایگذاری در رابطه چگالی**
حالا این تقریب را در رابطه چگالی از گام اول (بخش ب) قرار میدهیم:
$\boldsymbol{\rho_2 \approx \rho_1 (1 - \beta \Delta T)}$
این رابطه تقریبی بسیار مفید است زیرا کار با آن از نظر جبری سادهتر از رابطه کسری اصلی است و برای اکثر محاسبات مهندسی و فیزیکی دقت کافی را دارد.
